7.
Два математика ехали в трамвае. Один постоянно смотрел в окно, другой дремал. При очередной остановке у светофора смотревший в окно воскликнул:
— Удивительное совпадение!
— Что такое? — проснулся второй.
— Представляешь, складывал я недавно два натуральных числа. Если бы я сделал все правильно, то сумма была бы равна номеру вон того «Мерседеса». Но я почему-то в первом слагаемом расположил цифры в обратном порядке, а у второго вообще пропустил одну цифру. И потому сумма оказалась равной номеру вон тех «Жигулей». Так вот скажи: сможешь ли ты определить, какую цифру я пропустил?
— Нет, — поразмыслив, ответил второй. — Этих данных недостаточно.
— Хорошо, добавлю: она равна номеру дома, мимо которого мы проехали полчаса назад.
— Ну, тогда я могу назвать эту цифру.
Назовите и вы.
|
|
|
Решение.
Сумма цифр числа при делении на 9 даёт такой же остаток, как и само число. Пусть первое число при делении на 9 даёт остаток a, а второе — b. При перестановке цифр в числе его сумма цифр не меняется. А вот при пропуске цифры сумма цифр числа уменьшается на эту цифру. Поэтому на самом деле первый математик сложил числа, дающие при делении на 9 остатки a и b–x, где х — остаток, который даёт пропущенная цифра при делении на 9. (Или 9+b–х, если х>b.)
Значит, верная сумма чисел даёт остаток на х больший (или на 9–x меньший), чем неверная. Значит, и сумма цифр номера «Мерседеса» даёт при делении на 9 остаток на х больший (или на 9–х меньший), чем неверная.
Цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 дают при делении на 9 остатки 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8, а цифры 9 и 0 дают остаток 0.
Значит, если бы первый математик пропустил любую из цифр от 1 до 8, второй бы мог сразу дать ответ, если бы вычел из суммы цифр номера «Мерседеса» номер «Жигулей».
Раз он не смог догадаться, значит, разность остатков при делении на 9 получилась равная нулю, т. е. пропущенная цифра равна нулю или девятке. Поскольку номер дома не может быть равен нулю, пропущенная цифра — девятка.
|